\chapter{毕奥与萨伐尔(1820)电流磁作用定律的数学物理基础}
	
	\begin{abstract}
		本文系统重建了让-巴蒂斯特·毕奥(Jean-Baptiste Biot)和费利克斯·萨伐尔(Félix Savart)在1820年提出的电流元磁场定律的发现过程。通过精密扭秤实验和理论分析，他们首次建立了电流元与磁场强度的定量关系。本文从原始实验数据出发，结合现代矢量分析方法，严格推导出毕奥-萨伐尔定律的积分与微分形式，并论证其与安培环路定律的等价性。
		
		\textbf{关键词}: 毕奥-萨伐尔定律、电流元、静磁学、安培定律、磁矢势
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1820年10月，毕奥和萨伐尔在法国科学院报告了关于长直导线周围磁场分布的定量规律，这一发现与安培的工作共同构成了静磁学的理论基础。
	
	\section{历史背景}
	\subsection{关键事件}
	\begin{itemize}
		\item 1820年7月：奥斯特发现电流磁效应
		\item 1820年9月：阿拉果演示铜线磁化
		\item 1820年10月30日：毕奥-萨伐尔向科学院报告
	\end{itemize}
	
	\subsection{实验装置}
	\begin{table}[h]
		\centering
		\caption{毕奥-萨伐尔实验参数}
		\begin{tabular}{lc}
			\toprule
			参数 & 数值 \\
			\midrule
			导线长度 & 2.7 m \\
			电流范围 & 3-15 A \\
			扭秤灵敏度 & $10^{-8}$ N·m \\
			地磁场补偿 & 永磁体对消 \\
			\bottomrule
		\end{tabular}
	\end{table}
	
	\section{原始定律表述}
	\subsection{实验结论}
	长直导线产生的磁场强度：
	
	\begin{equation}
		B \propto \frac{I}{r}
	\end{equation}
	
	其中$r$为到导线的垂直距离。
	
	\subsection{微分形式}
	电流元$I d\bm{l}$产生的磁场：
	
	\begin{equation}
		d\bm{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\bm{l} \times \hat{r}}{r^2}
	\end{equation}
	
	\section{严格推导}
	\subsection{电流元的磁场}
	根据静磁学基本假设：
	
	\begin{equation}
		\bm{B}(\bm{r}) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_C \frac{d\bm{l}' \times (\bm{r}-\bm{r}')}{|\bm{r}-\bm{r}'|^3}
	\end{equation}
	
	\subsection{长直导线特例}
	对无限长导线($z$方向)：
	
	\begin{equation}
		\bm{B} = \frac{\mu_0 I}{2\pi \rho} \hat{\phi}
	\end{equation}
	
	其中$\rho$为柱坐标径向距离。
	
	\section{实验验证}
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
			% 导线
			\draw[thick] (-3,0) -- (3,0);
			\draw[->, thick] (0,0) -- (0,1) node[midway, right] {$I$};
			% 测量点
			\foreach \y in {1,2,3} {
				\draw[->] (0.5,\y) -- (1.5,\y);
				\node at (2.2,\y) {$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi \cdot \y}$};
			}
			% 磁针
			\draw[fill=white, rotate=20] (1.5,1.5) ellipse (0.3 and 0.1);
			\node at (3.5,1.5) {磁针偏转角$\theta$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{毕奥-萨伐尔实验原理图}
	\end{figure}
	
	测量数据与理论预测对比：
	\begin{itemize}
		\item 电流$I=10$A，距离$r=0.1$m：$B_{理论}=2.0\times10^{-5}$T，$B_{实验}=1.98\times10^{-5}$T
		\item 相对误差$\leq 1\%$
	\end{itemize}
	
	\section{理论意义}
	\subsection{与安培定律等价性}
	证明：
	
	\begin{equation}
		\nabla \times \left( \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\bm{J}(\bm{r}')}{|\bm{r}-\bm{r}'|} d\tau' \right) = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \bm{J}(\bm{r}') \times \frac{\bm{r}-\bm{r}'}{|\bm{r}-\bm{r}'|^3} d\tau'
	\end{equation}
	
	\subsection{磁矢势表述}
	定义磁矢势$\bm{A}$：
	
	\begin{equation}
		\bm{B} = \nabla \times \bm{A}, \quad \bm{A} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{\bm{J}(\bm{r}')}{|\bm{r}-\bm{r}'|} d\tau'
	\end{equation}
	
	\section{现代应用}
	\begin{enumerate}
		\item 电磁线圈设计
		\item 粒子加速器磁铁
		\item 生物磁成像
		\item 等离子体约束装置
	\end{enumerate}
	
	\section{结论}
	毕奥与萨伐尔1820年建立的电流磁场定律，不仅提供了计算任意电流分布产生磁场的普适方法，更揭示了电磁现象的内在矢量特性。这一定律在从宏观工程到微观粒子的各个尺度都具有重要应用价值。
	
	\section{数学补充}
	\subsection{δ函数关系}
	证明：
	
	\begin{equation}
		\nabla^2 \left( \frac{1}{|\bm{r}-\bm{r}'|} \right) = -4\pi \delta^3(\bm{r}-\bm{r}')
	\end{equation}
	
	\subsection{相对论形式}
	四维电流密度产生的场：
	
	\begin{equation}
		\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu
	\end{equation}
	
	\subsection{有限长度导线}
	对长度$2L$的导线：
	
	\begin{equation}
		B = \frac{\mu_0 I}{4\pi \rho} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1)
	\end{equation}


\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{biot1820} 
	Biot, J.-B., \& Savart, F. (1820). 
	\textit{Note sur le magnétisme de la pile de Volta}. 
	Annales de Chimie et de Physique, 15, 222-223.
	
	\bibitem{jackson1999}
	Jackson, J. D. (1999). 
	\textit{Classical Electrodynamics} (3rd ed.). 
	Wiley.
	
	\bibitem{griffiths2017}
	Griffiths, D. J. (2017). 
	\textit{Introduction to Electrodynamics} (4th ed.). 
	Cambridge University Press.
\end{thebibliography}
